第34讲：《常数项级数的概念与性质》内容小结、课件与典型例题与练习

1、级数相关基本概念

(1) 无穷级数

数列各项依次相加所构成的表达式

由于 均为数值，因此也称级数为数值级数或数项级数.

(2) 部分和数列

级数的前 项部分和构成的数列 ：

(3) 级数的敛散性和和

若级数的部分和数列 收敛，且极限为 ，则称级数收敛，部分和数列的极限值 称为级数的和．若部分和数列   发散，则称级数发散．

2、级数收敛的性质

(1) 必要条件：

级数收敛，通项趋于0.

(2) 加减运算性质：

两级数收敛，则有

(3) 数乘性质：

级数的项乘以非零常数敛散性不变.

(4) 增加项性质：

增加或减少，或者改变级数中的有限项，原级数的敛散性不变，即级数的敛散性性与有限项无关，但收敛级数的和会有影响．

(5) 组合项性质：

级数收敛，则在不改变级数项前后位置的条件下，任意结合级数的有限项得到新级数，则新级数也收敛，且和不变．即收敛的级数顺序加括号后仍然收敛，且和不变．但一般来讲，收敛级数可能不满足交换律！

3、正项级数收敛的充要条件

(1) 柯西审敛原理.

(2) 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有界！

4、常见级数敛散性结论

(1) 等比级数（几何级数）：

当 时，级数发散；当 ，级数收敛，且和为 .

(2) 调和级数发散

与调和级数相关的一个重要欧拉常数 结论：

(3)自然常数e：

(4) p-级数的敛散性

级数 当 时收敛，时，发散.

【注1】 特别注意求和式中的通项 的起始值！

【注2】 注意讨论级数敛散性和级数的和时养成展开级数几项考察级数的习惯！

【注3】 利用级数的运算性质、部分和数列极限的计算方法和以上收敛级数的和的结论，可以通过拆分通项的方式，将问题转换为熟悉的数列问题，或者已知和的级数问题，用来求收敛级数的和，或判定级数的收敛性！

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“无穷级数内容总结、课件、典型例题与练习”查看该章节内容列表！

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